Clément Galopin 2
e
année, math standard année scolaire 2012/13
1
Uneintroductionauxstatistiques
descriptives
Sommaire
1
INTRODUCTION 1
1.1
L’histoire de la statistique descriptive 1
1.2
La statistique de nos jours, à travers quelques exemples 3
2
PRÉSENTATION DES DONNÉES 4
2.1
Un peu de vocabulaire 4
2.1.1
Exercices 5
2.2
Formation de classes et notions d’effectif et de fréquence 6
2.2.1
Exercices 8
2.3
Représentations graphiques 9
2.3.1
Exercices 10
3
MESURES DE TENDANCE CENTRALE 10
3.1
Généralités 10
3.2
Le mode 11
3.2.1
Exercices 11
3.3
La médiane 11
3.3.1
Exercices 13
3.4
La moyenne et la moyenne pondérée 13
3.4.1
Exercices 14
4
MESURES DE DISPERSION 14
4.1
Écart absolu moyen et écart-type 14
4.2
les quartiles et centiles 15
4.3
Exercices 18
5
RÉFÉRENCES 19
1 Introduction
1.1 L’histoire de la statistique descriptive
a l'activité de recueil de données est très ancienne et répond aux besoins d'organisation et de
gouvernement des grands empires : dénombrements liés en particulier à l'armée, aux impôts et à
l'estimation des richesses. C'est un élément de contrôle comme le sont les levés topographiques ou
cadastraux.
b Les premiers recensements connus apparaissent sur les tablettes d'argile sumériennes, pour des
listes d'hommes et de biens, 3000 ans avant notre ère. On rapporte qu'en 2238 av. J.-C., l'empereur
Clément Galopin 2
e
année, math standard année scolaire 2012/13
2
chinois Yao organise le recensement des productions agricoles. Vers 2500 av. J.-C., en Egypte, une
lourde administration gère l'impôt et le cadastre.
c Les recensements romains sont connus, en particulier pour les circonstances de la naissance du
Christ. Le recensement était une démonstration de puissance, permettant de proclamer
publiquement l'ampleur de la domination romaine. Selon Tacite, l'empereur Auguste aurait été le
premier à faire un bilan des richesses de l'empire romain (soldats, navires, ressources privées et
publiques). Au IIIe siècle apparaissent à Rome des tables d'estimation des rentes viagères.
d A partir du XIIIe siècle, les données deviennent plus nombreuses. Les commerçants de Venise
amassent des données sur le commerce extérieur, évaluent les risques maritimes. En Hollande, on
étudie les rentes viagères. Au XVIe siècle en France, la tenue des registres des naissances est rendue
obligatoire par François 1
er
.
e Les progrès de la statistique descriptive sont en grande partie liés à ceux de la représentation
graphique et de l'organisation des données en tableaux, dès le XVIIe siècle et principalement grâce à
l’introduction des coordonnées par Descartes (1637).
f La statistique descriptive du XVIIIe siècle est dominée par l'école allemande, qui aurait légué le mot
statistique ainsi qu'une tradition de description globale des états, plus qualitative et littéraire que
quantitative. A l'université de Göttingen se développe une "école de statistique". C'est dans le cadre
d'une Allemagne divisée en une multitude de micro-états que se développe cette activité statistique
de recueil et de classement de données, à laquelle on recourt pour tout type de litige ou de conflit.
g Au XIXe siècle se développe, à côté de la statistique descriptive, la statistique dite mathématique,
fondée sur les probabilités. L’établissement de la loi des grands nombres par Jacques Bernoulli puis
celui de la loi normale (de façon indépendante par Gauss et par Laplace) en ont rendu possible le
développement.
h La statistique connaît, au début du XXe siècle, une véritable révolution, celle de l'inférence. Il s'agit, à
partir de résultats statistiques limités, observés sur un échantillon, d'inférer à toute une population.
Source : [1]
Image : [2]
Autriche-Hongrie, 1898.
Page de gauche :
répartition des écoles
élémentaires selon le
nombre de ses classes
(dans les villages, il n’y avait
souvent qu’une seule classe)
Page de droite :
répartition des écoliers selon
leur religion et la langue
d’enseignement
Clément Galopin 2
e
année, math standard année scolaire 2012/13
3
1.2 La statistique de nos jours, à travers quelques exemples
a Dans toutes les sphères de la vie, les données numériques venant d’expériences ou d’enquêtes
constituent le matériel de base à partir duquel on s’informe et on prend des décisions.
b En sciences par exemple, on collecte des données numériques pour répondre aux problématiques les
plus diverses. La collecte de données se fait par observation de phénomènes; parfois le scientifique
se contente d’observer un phénomène sans l’influencer – on pensera à l’observation du ciel, du
climat ou des volcans – et parfois au contraire il le provoque au cours d’une expérience qu’il pourra
répéter à volonté.
c L’exemple suivant, qui concerne une étude sur l’efficacité de deux somnifères, est historique (Cushny
and Peebles, 1905, J. Physiol. 32, 501) : Dix personnes ont accepté de tester un somnifère A et un
somnifère B. Pour chacun des somnifères, le temps de sommeil a été mesuré. Les chiffres ci-dessous
donnent la prolongation de sommeil en heures obtenue par le somnifère A par rapport au B.
1,2 2,4 1,3 1,3 0,0 1,0 1,8 0,8 4,6 1,4
Le somnifère A est-il plus efficace que le B ? Dans 9 cas sur 10, ça a été le cas. Mais si l’expérience
était reproduite avec 10 autres personnes, les résultats seraient forcément différents. Différents à
quel point ? Est-il plausible qu’en moyenne et sur un grand nombre de personnes, le somnifère B se
révèle au moins aussi efficace que le A, et ce, malgré le fait que nous avons obtenu les résultats ci-
dessus ?
d En biologie, les travaux de Mendel (1865) ont représenté une avancée décisive dans les tentatives
d’explication de la théorie de l’évolution de Darwin. Voici en quoi a consisté la première des
nombreuses expériences de Mendel : Deux sortes de pois sont cultivés qui se différencient par la
forme de leurs semences : petits pois ronds ou anguleux. La rotondité est, chez les pois, un caractère
génétiquement dominant. Selon les lois de Mendel, en pollinisant une plante d’une sorte avec le
pollen de l’autre sorte, on obtient une plante hétérozygote qui porte des semences rondes. Mendel a
croisé ces plantes hybrides entre elles et attendu qu’elles produisent à leur tour des semences. Il a
ensuite dénombré les semences rondes et les semences anguleuses. Selon la loi de Mendel, on
devrait obtenir des semences rondes et anguleuses dans le rapport 3 :1.
Mendel a vérifié cette loi expérimentalement. Il a obtenu 5474 semences rondes et 1850 semences
anguleuses, dans un rapport de 2,96 :1. Si l’on considère le cas d’une seule plante, ce rapport peut
être assez différent du rapport théorique de 3 :1, ce que montre bien le tableau ci-dessous :
plante No
1
2
3
4
5
rond
45
27
24
19
32
anguleux
12
8
7
10
11
rapport …:1
3,8
3,4
3,4
1,9
2,9
Le rapport diffère de plante à plante. Peut-on caractériser cette variation autour du rapport 3 :1 ?
Clément Galopin 2
e
année, math standard année scolaire 2012/13
4
e Les notes qu’une classe a eues lors d’un test d’allemand ont été rapportées dans le tableau suivant :
5
4.2
4
3
5
4.8
4.2
2.2
5.8
5
3
3.8
4.4
4.4
2.8
5.6
3.2
4.2
5.2
6
2.4
Comment en améliorer la présentation de façon à en avoir une meilleure vue d’ensemble ?
f La statistique est la science qui traite des méthodes servant à recueillir, à classer, à synthétiser et à
présenter des données numériques puis, avec le concours du calcul des probabilités, à interpréter et
à tirer des conclusions à partir de ces données numériques.
On peut également dire que la statistique est la science qui tente de répondre, entres autres, aux
questions des exemples ci-dessus. L’exemple (c) des somnifères pose la question très générale de la
signifiance d’une différence observée entre deux moyennes. L’exemple (d) de Mendel pose la
question de la mesure de la dispersion des données autour d’une moyenne. L’exemple (e) invite à
chercher une représentation synthétique d’une longue liste de données, de façon à en avoir une vue
d’ensemble.
g La statistique descriptive, sujet de ce cours, consiste uniquement en la petite partie de la statistique
qui classifie, synthétise et représente les données de façon à en obtenir une bonne vue d’ensemble.
2 Présentation des données
2.1 Un peu de vocabulaire
a On appelle population l’ensemble sur lequel porte une étude statistique. Les éléments d’une
population sont appelés des individus. En statistique, les termes de population et d’individu ne sont
pas réservés aux seuls êtres humains. Une population peut, au sens de la statistique, être formée de
personnes ou d’animaux, mais aussi d’objets, de faits, etc. Une population doit toujours être définie
clairement de sorte qu’il soit toujours possible de dire si un élément quelconque est ou n’est pas un
individu de cette population.
b Une étude statistique porte sur un caractère particulier des individus de la population étudiée.
c Les termes de caractère, qualité et attribut sont ici synonymes et désignent par exemple le sexe ou
l’âge parmi une population d’êtres humains, le tirant d’eau ou le tonnage si la population est un
ensemble de bateaux, la couleur et la forme parmi une population de papillons. On dit aussi que ce
sont des variables statistiques.
d Les différents états ou les différentes valeurs que peut prendre une variable statistique sont les
modalités de cette variable statistique. On note une variable statistique par une lettre majuscule X,
Y,… et ses modalités par la même lettre mais minuscule et affectée d’un indice :
,
,… ou
,
,…
Exemple Population : ensemble des étudiants du collège
individu : tout étudiant qui est inscrit au collège
Clément Galopin 2
e
année, math standard année scolaire 2012/13
5
Variables statistiques Modalités
X sexe {masculin ; féminin}
Y âge {15; 16; 17 ; 18; 19; 20; 21; 22}
Z taille en cm [140; 220]
e Si les modalités d’une variable statistique sont des nombres, alors la variable est dite quantitative.
Sinon elle est dite qualitative.
f Dans nos raisonnements, nous faisons la supposition que les individus sont numérotés, qu’il y a donc
un individu 1, un individu 2, etc. L’individu 1 n’est bien sûr pas connu explicitement, il peut être
n’importe quel individu; nous savons cependant qu’il n’est pas l’individu 2 et que ce dernier n’est pas
l’individu 3, etc.
Un individu est associé à une modalité. On note
la modalité que prend la variable statistique
chez l’individu numéro . Dans l’exemple d, on exprime par exemple que l’individu numéro 3 est une
fille en écrivant
 et on exprime que l’individu 13 a 18 ans en écrivant

.
La collecte des données, première étape d’une étude statistique, consiste à produire, pour une
variable statistique donnée, une liste de modalités, chacune prise chez un individu parmi un groupe
d’individus. Exemple abstrait d’une telle liste :
,
,
,
,… , liste pouvant signifier concrètement
féminin, masculin, féminin, féminin,…
Une telle liste de modalités s’appelle une série statistique. Une série statistique se rapporte donc à
une variable statistique ainsi qu’à une population.
Le groupe d’individus auquel correspond la série statistique peut être la totalité de la population
qu’on étudie ou alors n’en être qu’un sous-ensemble. Dans ce dernier cas, ce groupe est appelé un
échantillon de la population étudiée.
g Si l’on souhaite par exemple étudier les tendances de vote en Suisse, on se contentera d’un
échantillon de la population des citoyens suisses. Il est en effet plus difficile, voire complétement
impossible, de collecter des données sur la totalité de cette population alors qu’une collecte
d’information sur un petit nombre d’individus est chose facile. Lorsque l’on procède ainsi, préférant
établir une ou plusieurs séries statistiques sur un échantillon plutôt que sur la population totale, on
dit que l’on procède par sondage.
h Peut-on prendre n’importe quel échantillon, si l’on souhaite que les conclusions de l’étude statistique
soient vraies pour toute la population ?
2.1.1 Exercices
i Dans chacun des 3 exemples de la section 1.2 :
1) l’étude comparative des effets de deux somnifères,
2) la vérification expérimentale de la loi de Mendel,
3) la liste de notes d’une classe,
identifiez les séries statistiques et essayez de dire, pour chacune des séries statistiques que vous
Clément Galopin 2
e
année, math standard année scolaire 2012/13
6
aurez identifiée, à quelle population ainsi qu’à quelle variable statistique ces séries se rapportent.
S’agit-il de variables qualitatives ou quantitatives ?
j Considérez l’exemple de la liste des notes d’une classe, section 1.2, e. Comment vous y prendriez-
vous pour avoir une meilleure vue d’ensemble des résultats de la classe ?
2.2 Formation de classes et notions d’effectif et de fréquence
a Lorsqu’une série statistique est grande, il est difficile voire impossible d’en tirer des indications
générales. C’est pourquoi on a recours à la formation de classes afin de baisser fortement la quantité
de données numériques à considérer et de gagner une vue d’ensemble.
b Si la variable statistique à laquelle se rapporte la série statistique est qualitative, on formera par
exemple une classe par modalité. Dans l’exemple de Mendel, la série statistique
rond rond anguleux anguleux … se rapporte à des petits pois. Ceux-ci ont été répartis en deux classes
selon la modalité que prend la variable « rotondité » chez chaque petit pois.
c Si la variable statistique à laquelle se rapporte la série statistique est quantitative, on formera en
principe des intervalles de valeurs. A ce point il convient de faire une distinction.
Une variable statistique quantitative est dite continue si l’ensemble des modalités est un intervalle
de nombres réels. Par exemple, la température du corps humain est une variable statistique continue
puisque, a priori, elle peut prendre en n’importe quelle valeur réelle dans l’intervalle [30; 44].
Une variable statistique quantitative est dite discrète si l’ensemble des modalités est un ensemble
fini. Par exemple, le nombre de buts marqués par une équipe de hockey à chacun des matchs de sa
saison est une variable statistique discrète puisque ses valeurs sont des nombres entiers.
d La distinction entre une variable statistique discrète et une variable statistique continue semble
claire d’un point de vue théorique. En pratique cependant, cette distinction n’est pas toujours nette.
Rigoureusement, toute mesure est discrète car la précision d’une mesure est toujours limitée. Si on
mesure la température du corps humain au moyen d’un instrument qui affiche la température à une
décimale après la virgule, l’ensemble des modalités est {30,0 ; 30,1 ; 30,2 ; … ; 43,9 ; 44,0}.
Ce n’est pas tant la nature de l’ensemble des modalités d’une variable statistique que le nombre de
ses modalités qui sert de critère pour distinguer les diverses situations. Si le nombre de modalités
d’une variable statistique discrète est petit, on présente les données comme celles d’une variable
qualitative (une classe par nombre). Si le nombre de modalités d’une variable statistique discrète est
grand ou si la variable statistique est continue, il faut les regrouper en classes. Ces classes seront
alors des intervalles de valeurs.
Clément Galopin 2
e
année, math standard année scolaire 2012/13
7
e Comment former des classes dans le cas d’une variable statistique continue ?
On divise la partie de l’axe incluant toutes les données en k segments en plaçant les points
,
,
,
…,
qui sont les bornes de chacune des classes. Une classe est un intervalle semi-ouvert 

avec :

la borne inférieure de la classe ,
la borne supérieure de la classe ,


le milieu de la classe (appelé également centre de classe),

la largeur de la classe .
Le choix des bornes des classes doit en principe satisfaire aux critères suivants :
-
doit être plus petit ou égal à la plus petite valeur de la série statistique considérée.
-
doit être plus grand ou égal à la plus grande valeur de la série statistique considérée.
- Les classes doivent être de largeur égale.
- Il faut éviter que les points de concentration, c’est-à-dire les endroits de l’axe où se situent
un grand nombre de données, soient situés trop près des bornes. Ceci fausserait les calculs que nous
effectuerons par la suite et qui sont fondés sur l’hypothèse que les données se répartissent plus ou
moins de façon uniforme à l’intérieur de chaque classe.
f Si la série statistique considérée est grande, il nous faut donc former des classes. Une fois les classes
formées, nous comptons les individus qu’il y a dans chaque classe. Ce nombre est appelé effectif (de
la classe). Nous représentons le tout au moyen d’un tableau des effectifs.
g En divisant les effectifs de chaque classe par le nombre total des individus de la série statistique (le
grand total), on définit une nouvelle grandeur : la fréquence.
Si l’effectif de la classe est !
et que le grand total " est la somme des effectifs de toutes les classes,
alors la fréquence de la classe est !
#". La fréquence de la classe est notée $
.
Au lieu de parler d’effectif et de fréquence, on parle parfois respectivement de fréquence absolue et
de fréquence relative.
h* Si l’on se donne une série statistique correspondant à une variable statistique continue, la
détermination judicieuse de classes d’intervalles n’est pas forcément chose facile. Considérez la série
statistique suivante :
Un diagramme à tige et à feuilles (stem and leaf plot, Stamm-Blatt Diagramm) permet, au moyen
d’une simple feuille quadrillée et d’un crayon, de se faire une rapide idée sur la répartition de ces
nombres. Etablissons ce diagramme pour la série statistique ci-dessus.
0.102 0.012 0.213 0.021 0.23 0.231 0.401 0.201 0.5 0.013 0.33
0.13 0.0021 0.42 0.023 0.402 0.04 0.32 0.42 0.231 0.203 0.121
Clément Galopin 2
e
année, math standard année scolaire 2012/13
8
On commence par se faire une idée de l’intervalle des valeurs : ici, les valeurs vont, en gros, de 0 à
0,5. Puis on détermine quelle est la plus grande décimale qui intervient parmi ces valeurs : ici c’est la
décimale des dixièmes. Les valeurs vont de 0 à 0,5 et c’est pourquoi on trace un trait vertical et note
à sa gauche et verticalement les chiffres des dixièmes 0,1,2,3,4,5. Ces chiffres forment ce qu’on
appelle la tige du diagramme. On prend ensuite le premier
nombre de la série statistique et repère la ligne correspondant à
son chiffre des dixièmes. Pour 0,102, il s’agit de 1. On inscrit alors
le chiffre qui se situe directement à droite de ce 1 dans la
prochaine case vide à droite (voir le chiffre encerclé ci-contre). On
refait de même pour tous les
nombres de la série
statistique. Cette façon de
faire va très vite et on obtient
le tableau de droite.
Dans un deuxième temps, on trie de façon croissante les valeurs
en feuilles dans chaque ligne du diagramme. On obtient le
tableau de gauche. Le diagramme à tige et à feuille est achevé !
L’avantage de cette méthode est que le tri des valeurs en feuilles ligne par ligne est chose simple et
rapide alors qu’il serait fastidieux de trier directement les nombres de la série statistique. La valeur
médiane, que nous allons voir au chapitre 3, se lit facilement du tableau : c’est 0,20.
2.2.1 Exercices
i Faites un tableau des effectifs pour l’exemple de la liste des notes d’une classe, section 1.2, e.
j Reprenez l’exemple de l’exercice précédent, mais cette fois vous disposez de l’information
suivante : La première ligne de la série statistique des notes, disposées sur 3 lignes, correspond
aux notes des garçons de la classe. Les deux dernières lignes de la série statistique
correspondent aux notes des filles. Faites les deux tableaux des effectifs.
Pouvez-vous facilement comparer ces tableaux ? Que serait-il judicieux de faire pour permettre
la comparaison ?
k Complétez votre tableau des effectifs de l’exercice i en y incluant les fréquences.
l Comment représenteriez-vous graphiquement le tableau des effectifs (sans les fréquences) pour
les filles de la classe ?
m* Faites un diagramme à tige et à feuilles pour la série statistique de l’exemple des somnifères.
tige feuilles
0 0 2 1 0 2 4
1 0 3 2
2 1 3 3 0 3 0
3 3 2
4 0 2 0 2
5 0
tige feuilles
0 0 0 1 2 2 4
1 0 2 3
2 1 0 0 3 3 3
3 2 3
4 0 0 2 2
5 0
Clément Galopin 2
e
année, math standard année scolaire 2012/13
9
2.3 Représentations graphiques
a Si la variable statistique est qualitative (ou assimilable à une variable qualitative, voir remarque
section 2.2, d), son tableau des effectifs sera représenté graphiquement par un diagramme en
bâtons.
Si la variable statistique est continue (ou assimilable à une variable continue, voir remarque
section 2.2, d), les classes sont des intervalles de valeurs et son tableau des effectifs sera
représenté graphiquement par un histogramme.
b Un histogramme est un système d’axes cartésien qui porte en abscisses un partitionnement en
intervalles de l’axe des nombres réels, comme décrit au point e de la section 2.2. De plus,
chaque intervalle forme le côté d’un rectangle dont l’aire est proportionnelle à l’effectif associé
à l’intervalle. Dans le cas où tous les intervalles sont de même longueur, c’est la hauteur du
rectangle qui est proportionnelle à l’effectif.
c Le polygone des effectifs est une
ligne brisée obtenue en joignant
les points milieux consécutifs des
sommets des rectangles de
l’histogramme.
Ci-contre, la superposition d’un
histogramme et d’un polygone
des effectifs. On observe atten-
tivement la façon dont débute et
finit la ligne polygonale.
d Reprenons le tableau des effectifs de l’exercice i, section 2.2.1.
Nous y ajoutons la colonne des effectifs cumulés.
e Nous produisons ci-dessous l’histogramme des effectifs
cumulés ainsi que le polygone des effectifs cumulés :
Ce polygone est une ligne brisée
obtenue en joignant consécutivement
les angles supérieurs droits des
rectangles de l’histogramme des
effectifs cumulés. Cette construction
est justifiée plus avant dans ce cours,
afin de déterminer la médiane (chap.
3) et les quartiles (chap. 4) d’une
variable statistique continue.
classe effectif effectif cum.
[1;2[ 0 0
[2;3[ 3 3
[3;4[ 4 7
[4;5[ 7 14
[5;6[ 6 20
[6;7[ 1 21
[7;8[ 0 21
Clément Galopin 2
e
année, math standard année scolaire 2012/13
10
2.3.1 Exercices
e Tracez le polygone des effectifs correspondant au tableau des effectifs de l’exercice i,
section 2.2.1.
Tracez ensuite le polygone des effectifs cumulés correspondant.
f Connaissez-vous une représentation graphique appropriée pour montrer les fréquences ?
g Soit le tableau des effectifs suivant :
1) Faites le diagramme en bâtons correspondant.
2) Etablissez son diagramme en bâtons des effectifs cumulés.
3) Un tel diagramme cumulé fait-il sens ? Expliquez votre réponse.
3 Mesures de tendance centrale
3.1 Généralités
a A partir d’une série statistique quelconque, nous avons jusqu’à présent appris à former des
classes auxquelles nous avons ensuite associé leurs effectifs. Nous pouvons voir cela comme la
création, à partir d’une série statistique d’origine, d’une nouvelle série statistique dont les
éléments sont des classes. L’effectif d’une classe peut alors être vu comme une synthèse de
toutes les valeurs qui sont regroupées dans cette classe.
b De même, on peut voir la fréquence d’une classe comme une synthèse de toutes les valeurs de
cette classe. Il existe ainsi plusieurs façons de synthétiser les valeurs d’une classe donnée.
c Suivant la nature de la série statistique, c’est-à-dire de ses modalités, nous pouvons définir
différentes façons d’en synthétiser les valeurs.
d Les modalités d’une variable statistique sont soit nominales, soit ordinales, soit métriques.
Exemple de modalités nominales : rouge, vert, brun, jaune. Les modalités ordinales quant à
elles sont munies d’un ordre : petit, moyen, grand, immense. Les modalités métriques sont non
seulement munies d’un ordre mais aussi d’une distance. Ce sont notamment les nombres
entiers et les nombres réels.
Les variables nominales, après avoir été éventuellement regroupées en classes, se laissent
dénombrer. Le résultat du dénombrement est appelé l’effectif.
Les variables ordinales se laissent non seulement dénombrer mais aussi ranger dans un certain
ordre. Ceci permet de nouvelles manières de synthétiser des valeurs, autres que leur simple
dénombrement. Dans une classe donnée, on peut par exemple se demander quelle est la valeur
la plus grande et quelle est la plus petite. Avec une variable nominale, ce n’est pas possible.
classe effectif
rouge 10
vert 60
jaune 100
violet 30
orange 20
220
Clément Galopin 2
e
année, math standard année scolaire 2012/13
11
Les variables métriques, contrairement aux autres, se laissent en outre additionner et
soustraire, multiplier et diviser. Ce fait-là rend possible à son tour de nouvelles façons de
synthétiser des valeurs.
e Nous avons vu que former des classes est une manière de gagner une vue d’ensemble d’une
série statistique. Il est clair à présent que la formation de classes va toujours de pair avec la
synthèse des données qui y sont regroupées. Synthétiser des données consiste à leur associer
une valeur – qu’on appelle un paramètre d’agrégation – qui exprime un aspect particulier de ces
données.
f Certains paramètres d’agrégation s’utilisent après la formation préalable de plusieurs classes,
c’est le cas de l’effectif et de la fréquence, tandis que l’utilisation de certains autres paramètres
présuppose au contraire de considérer l’ensemble de la série statistique qu’on souhaite étudier
comme faisant partie d’une seule et même classe. C’est le cas des importants paramètres de
position.
Parmi ceux-ci il y a ceux qui indiquent autour de quelle valeur les données d’une série
statistique se répartissent. Ces paramètres s’appellent les mesures de tendance centrale.
Les trois principales en sont le mode, la médiane et la moyenne arithmétique.
3.2 Le mode
a Le mode d’une série statistique est la valeur qui y apparaît le plus souvent. Une série statistique
peut éventuellement avoir plus d’un mode (penser à une répartition bimodale).
3.2.1 Exercices
b Dans le tableau g, section 2.3.1, pouvez-vous dire quel est le mode ?
c Quel est le mode de la série statistique à partir de laquelle le tableau des effectifs de l’exemple
de Mendel, section 1.2, d, a été fait ?
3.3 La médiane
a La médiane d’une série statistique est la valeur telle que la moitié des valeurs de la série
statistique y est inférieure et l’autre moitié y est supérieure. Par exemple, la médiane de la série
statistique de l’exemple des somnifères, section 1.2, c, est 1,3.
La médiane peut d’ailleurs ne pas elle-même faire partie des valeurs de la série statistique.
b Reprenons le tableau des effectifs
des notes du point d, section 2.3.
Nous complétons ce tableau en y
ajoutant, à côté de la fréquence, la
fréquence cumulée. Nous pouvons
aussi dessiner son l’histogramme
des fréquences cumulées (voir plus
loin ci-dessous).
Nous notons $
la fréquence de la classe ; nous noterons %
sa fréquence cumulée. Disposant
maintenant de la notion de fréquence cumulée, nous pouvons définir précisément la médiane.
classe effectif effectif cum. fréquence fréquence cum.
[1;2[ 0 0 0% 0%
[2;3[ 3 3 14% 14%
[3;4[ 4 7 19% 33%
[4;5[ 7 14 33% 67%
[5;6[ 6 20 29% 95%
[6;7[ 1 21 5% 100%
[7;8[ 0 21 0% 100%
21 100%
Clément Galopin 2
e
année, math standard année scolaire 2012/13
12
c Premier cas, la variable statistique est discrète :
La médiane d’une variable discrète est la première modalité dont la fréquence cumulée atteint
ou dépasse 0,5.
d Second cas, la variable statistique est continue :
Nous nous ramenons au cas discret en formant des classes auxquelles nous associons leurs
fréquences cumulées. Nous repérons ensuite la classe médiane, c’est-à-dire la première classe
dont la fréquence cumulée atteint ou dépasse 0,5.
Dans l’exemple des
notes, la classe médiane
est l’intervalle& '.
Nous savons donc que la
médiane se trouve
quelque part dans cet
intervalle. Nous
aimerions bien savoir la
valeur précise de la
médiane. Comment nous
y prendre ?
e Dans notre exemple, la
première classe serait ( ; sa fréquence cumulée serait %
. La plus mauvaise note possible
étant 1, nous ignorons toutefois cette première classe et commençons véritablement à partir de
la deuxième, la classe  ).
%
est la fréquence cumulée de la deuxième classe, l’intervalle  ), ici vide. Cette fréquence
cumulée est donc associée à un intervalle et non pas à un nombre; cependant, nous pouvons
tout à fait associer %
à la borne supérieure de cet intervalle, à savoir la valeur 2. Nous pouvons
alors dire que %
est la fréquence de l’intervalle constitué des valeurs de notes plus petites que
2.
De même %
est la fréquence cumulée de la troisième classe, l’intervalle ) *. Cette fréquence
cumulée est donc associée à un intervalle et non pas à un nombre; cependant nous pouvons
tout à fait associer %
à la borne supérieure de cet intervalle, à savoir la valeur 3. Nous pouvons
dire que %
est la fréquence de l’intervalle constitué des valeurs de notes plus petites que 3.
De cette façon nous imaginons une fonction – appelons-la % – qui est définie non pas sur les
intervalles de nombres mais sur ces nombres eux-mêmes. Toutefois cette fonction % n’est
connue que pour les bornes des intervalles : nous savons que %
+
,
%
, où
est la borne
supérieure de la classe mais nous ignorons les valeurs de % pour les valeurs qui se trouvent à
l’intérieur des classes.
f Pour définir % également pour les valeurs qui se trouvent à l’intérieur des classes, nous devons
faire une supposition. Nous supposons que dans chaque classe, les données de la série
statistique sont réparties uniformément. Cette supposition nous permet de définir %+, pour le
cas où x n’est pas la borne d’un intervalle. Nous procédons par interpolation linéaire (voir plus
Clément Galopin 2
e
année, math standard année scolaire 2012/13
13
haut le graphique), c’est-à-dire que nous disons que le graphe de la fonction % est la ligne brisée
qui relie les bornes
entre elles.
La pente de la ligne brisée entre

et
est
-
-



.
Pour les valeurs x de l’intervalle 

, la
fonction est donnée par la formule
%
+
,
+

,.%

/
g Nous sommes maintenant outillés pour préciser la
valeur 0 de la médiane, dont on sait seulement qu’elle est quelque part dans la classe médiane.
Il suffit en effet de poser %
+
,
(1' et de résoudre pour x. On obtient :
0

.
+
(1' %

,
2

%
%

1
où

est la borne inférieure de la classe médiane,
est sa borne supérieure,
%

est la fréquence cumulée de la classe qui précède la classe médiane,
%
est la fréquence cumulée de la classe médiane.
Remarquons que la différence %
%

est égale à la fréquence $
de la classe médiane.
3.3.1 Exercices
h Calculez la médiane pour l’exemple des notes. Partez pour cela du tableau b, section 3.3.
Déterminez cette médiane graphiquement.
Calculez une nouvelle fois la médiane pour l’exemple des notes mais cette fois, formez d’autres
classes, par exemple les classes 1',1')1))1'1)1'*,…,'1'31331'.
La médiane obtenue est-elle la même que précédemment ?
i Déterminez la médiane pour l’exemple des somnifères. Est-elle différente du mode ?
3.4 La moyenne et la moyenne pondérée
a La moyenne arithmétique d’une série statistique de n valeurs est le quotient de leur somme par
leur nombre. Elle n’est définie que si ces valeurs sont métriques (voir section 3.1, d).
Si
,
,
, …,
, …,
4
sont les valeurs de n observations, la moyenne arithmétique, notée 5,
est
5
!
2
+
.
.6.
4
,
!
27
4
8
/
Clément Galopin 2
e
année, math standard année scolaire 2012/13
14
b Considérons la distribution suivante qui représente une variable discrète.
La moyenne arithmétique pondérée est définie par l’expression
5
!
. !
. 6 . !
4
4
!
. !
. 6 . !
4
91
expression qui est égale à
!
27!
4
8
/
3.4.1 Exercices
c Considérez à nouveau le tableau des effectifs pour l’exemple des notes, tableau b, section 3.3.
Calculez la note moyenne.
Aide : Prenez pour modalités non pas les intervalles mais leurs centres de classes. Par exemple,
le centre de la classe '3 est 5,5. Les modalités doivent en effet impérativement être de
nature métrique, ce que des intervalles ne sont pas (mais de nature ordinale s’ils sont disjoints).
4 Mesures de dispersion
4.1 Écart absolu moyen et écart-type
a Parmi les paramètres de position, nous avons appris à connaître les mesures de tendance
centrale. Ces mesures indiquent, chacune à leur manière, autour de quelle valeur se situent les
données d’une variable statistique. Mais ces mesures ne donnent pas une description
suffisamment précise de la distribution des données. Par exemple, si la moitié d’une classe
obtient la note 6 à un test et l’autre moitié la note 2 ou si toute la classe obtient la note 4, la
moyenne de classe est la même et pourtant les distributions de notes sont très différentes.
b Pour mettre en évidence cette différence, il faut étudier la dispersion des données autour de la
mesure de tendance centrale. Pour ce faire, nous définissons des mesures de dispersion.
c L’étendue d’une variable discrète est la différence entre la plus grande et la plus petite
modalité. Il n’y a pas de notation particulière pour l’étendue.
d L’écart absolu moyen, noté :0, est la moyenne pondérée des valeurs absolues des écarts à la
moyenne arithmétique (le nombre total de valeurs de la série statistique est ici n) :
:0
!
27!
2
;
5
;
4
8
/
L’écart absolu moyen est une mesure de dispersion naturelle et logique. Cependant, à cause des
valeurs absolues, l’écart absolu moyen se prête mal à un traitement algébrique.
modalité effectif
… … …
… … …
!
!
!
!
!
!
!
!
4
!
4
!
4
4
Clément Galopin 2
e
année, math standard année scolaire 2012/13
15
e La variance d’une variable statistique est la moyenne pondérée des carrés des écarts à la
moyenne. On la note <
9:
<
!
27!
2
+
5
,
4
8
7$
2
+
5
,
4
8
/
L’écart-type d’une variable statistique est la racine carrée de la variance. On le note <. L’écart-
type est la mesure de dispersion la plus couramment utilisée en statistique descriptive.
f La variance et l’écart-type exigent des calculs assez longs. Cependant nous pouvons exploiter le
fait suivant pour simplifier les calculs (preuve en cours) :
<
7$
2
+
5
,
4
8
=7$
2
4
8
> 5
Nous complétons notre tableau des effectifs pour l’exemple des notes. Pour calculer la variance,
nous exploitons l’égalité ci-dessus : la variance est la différence entre 20,6 et de carré de la
moyenne 4,4 (voir le bas du tableau). Nous obtenons :
variance = 1,23
écart-type = 1,11
4.2 les quartiles et centiles
g D’autres mesures de dispersion que l’écart-type sont également très utilisées dans la pratique.
La médiane partage les valeurs d’une série statistique en deux parties égales. On peut
généraliser cette idée et partager l’ensemble des valeurs d’une série statistique en quatre, dix
ou cent parties égales. Les valeurs déterminant ce partage sont respectivement les quartiles, les
déciles et les centiles. Par exemple, le vingt-huitième centile est la valeur telle que 28% des
données lui sont inférieures (ou égales) et 72% lui sont supérieures.
On utilise rarement les centiles pour une série statistique ayant peu de valeurs. Il est en effet
mal à propos de partager un ensemble de valeurs en 100 parties si l’on n’a que 15 ou 20 valeurs
au total.
classe centre de classe effectif effectif cum. fréquence fréquence cum.
[1;2[ 1.5 0 1.5 0% 0% 0.0 0.0
[2;3[ 2.5 3 7 14% 14% 0.4 0.9
[3;4[ 3.5 4 14.5 19% 33% 0.7 2.3
[4;5[ 4.5 7 26 33% 67% 1.5 6.8
[5;6[ 5.5 6 37.5 29% 95% 1.6 8.6
[6;7[ 6.5 1 45 5% 100% 0.3 2.0
[7;8[ 7.5 0 52.5 0% 100% 0.0 0.0
21 100% 4.4 20.6
moyenne
!
%
$
)
Clément Galopin 2
e
année, math standard année scolaire 2012/13
16
h De façon tout à fait analogue à celle dont nous avons défini la médiane, d’abord pour le cas
discret et ensuite pour le cas continu, nous définissons le centile d’ordre p d’une variable
statistique. Ici, p est un nombre de 0 à 100 et on parlera par exemple du centile d’ordre 20.
Pour une variable statistique discrète, le centile d’ordre p est la première modalité dont la
fréquence cumulée atteint ou dépasse p%.
Pour une variable statistique continue, nous nous ramenons au cas discret en formant des
classes auxquelles nous associons leurs fréquences cumulées. Nous repérons ensuite la classe
du centile d’ordre p, c’est-à-dire la première classe dont la fréquence cumulée atteint ou
dépasse p%.
Nous posons que %+, ?@ et résolvons pour x. Le résultat est analogue au cas de la médiane
(centile d’ordre 50) : 9
ABCDB9EFGHEHB9I

.
+
?@ %

,
2

%
%

1
où

est la borne inférieure de la classe du centile d’ordre p,
est sa borne supérieure,
%

est la fréquence cumulée de la classe qui précède celle du centile d’ordre p,
%
est la fréquence cumulée de la classe du centile d’ordre p.
i En pratique, une importance particulière est donnée aux quartiles. Le premier quartile est noté
J
et est égal au centile d’ordre 25; le deuxième quartile est la médiane; le troisième quartile
est noté J
et est égal au centile d’ordre 75.
j L’écart semi-interquartile, noté Q, est le demi-écart entre le premier et le troisième quartile :
J
J
J
)
k La série des notes e, section 1.2 peut être synthétisée de
différentes façons (voir ci-contre).
Ainsi la note maximale est-elle 6 et la note minimale, 2,2. La note
telle que 25% des notes lui sont inférieures ou égales est le premier
quartile, qui vaut 3,1. La note telle que 75% des notes lui sont
inférieures ou égales est aussi celle telle que 25% des notes lui sont
strictement supérieures; il s’agit du troisième quartile qui vaut 5. La moyenne (arithmétique) est
ici (par hasard) égale à la médiane et vaut 4,2.
max 6
min 2.2
Q1 3.1
Q2=M 4.2
Q3 5
moyenne 4.2
Clément Galopin 2
e
année, math standard année scolaire 2012/13
17
l Ci-contre, nous voyons comment
procéder concrètement pour
calculer le premier quartile de la
série des notes :
1) Nous trions les valeurs de la série
statistique en ordre croissant
(1
ère
colonne du tableau);
2) nous regroupons les valeurs
identiques de la série (1
ère
et 2
e
colonnes);
3) nous considérons chaque valeur
isolée comme une classe d’effectif 1
et calculons pour chaque classe son
effectif cumulé (3
e
colonne);
4) nous calculons les fréquences
cumulées en divisant les effectifs
cumulés par l’effectif total 21
(4
e
colonne);
5) nous cherchons dans cette quatrième colonne le pourcentage immédiatement plus petit que
25%, ici 24%, qui est la fréquence cumulée de la classe de 3, puis nous cherchons le pourcentage
immédiatement plus grand ou égal à 25%, ici 29%, qui est la fréquence cumulée de la classe de
3,2.
6) Le premier quartile se trouve donc entre 3 et 3,2. Pour le déterminer exactement, nous
commençons par voir que la classe du centile d’ordre 25 est la classe de 3,2. Ses bornes sont

* et
*1), sa fréquence cumulée est %
)K@. Le calcul est en tout point analogue
au cas de la médiane :
ABCDB9EFGHEHB9)'

.
+
)'@ %

,
2

%
%

* .
+
(1)' (1)&
,
2
*1) *
(1)K (1)&
Lous obtenons 3,04. Dans la mesure cependant où la détermination des bornes

et
est
sujette à discussion, on peut tout à fait se contenter de calculer la moyenne arithmétique entre
3 et 3,2, ce qui donne 3,1.
tri croissant effectif cum. fréquence cum.
2.2 2.2 1 5%
2.4 2.4 2 10%
2.8 2.8 3 14%
3
3 3 5 24%
3.2 3.2 6 29%
3.8 3.8 7 33%
4 4 8 38%
4.2
4.2
4.2 4.2 11 52%
4.4 0%
4.4 4.4 13 62%
4.8 4.8 14 67%
5
5
5 5 17 81%
5.2 5.2 18 86%
5.6 5.6 19 90%
5.8 5.8 20 95%
6 6 21 100%
Clément Galopin 2
e
année, math standard année scolaire 2012/13
18
m Il existe une représentation des données en boîtes à
moustaches (boxplot) qui est construite à partir des
quartiles. Ci-contre nous voyons la boîte à
moustaches de la série statistique pour l’exemple des
notes.
Le bas du rectangle du bas indique le premier quartile
(3,1), le haut du rectangle du haut indique le
troisième quartile (5). Le côté commun aux deux
rectangles indique la médiane (4,2). Ces deux
rectangles forment ensemble la boîte de la boîte à
moustaches; elle « contient » 50% de toutes les
données de la série statistique. Les moustaches
supérieure et inférieure indiquent jusqu’où les
données vont : du maximum au minimum. Une telle
représentation donne ainsi une bonne idée de la répartition (tendance centrale et dispersion)
d’une série statistique.
4.3 Exercices
n Le tableau des effectifs de la lettre f, section 4, est un tableau tout à fait standard. Son but est
d’être une aide au calcul numérique des importantes mesures que sont les quartiles et la
médiane, la moyenne et l’écart-type.
Produisez un tel tableau des effectifs pour les notes des filles uniquement. Reprenez pour cela
les données que vous avez déjà travaillées.
Faites la même chose pour les notes des garçons. Illustrez la différence de répartition des notes
entre les filles et les garçons en dessinant deux boîtes à moustaches côte à côte.
o La moyenne qui apparaît dans le tableau des effectifs de la lettre f, section 4, est-elle une
moyenne pondérée ou non ?
Clément Galopin 2
e
année, math standard année scolaire 2012/13
19
5 Références
[1] Histoire de la statistique avant 1900 (page consultée en janvier 2013) :
http://dutarte.perso.neuf.fr/statistique/HISTOIRE%20STATISTIQUE%201.htm
[2] Wien, 1898. Im Verlage der Sonderausstellungs-Commission "Jugendhalle". Zur Geschichte
und Statistik des Volksschulwesens im In- und Auslande.
Tiré de la page internet (consultée en janvier 2013):
http://www.flickr.com/photos/mstoll/with/7462125526/#photo_7462125526
[3] Hubert Bovet, Statistique descriptive, éditions Polymaths, Oron-le-Châtel, 2002.
[4] Werner Stahel, Statistische Datenanalyse, 4. Auflage, Vieweg Verlag, 2002. L’exemple des
somnifères ainsi que celui de Mendel sont tirés de ce livre véritablement excellent.